Մաթեմատիկա

Առաջադրանք 98

ա) sin (π/2 + α) = (+)

բ) cos (3π/2 — α) = (-)

գ) tg (π — α) = (-)

դ) tg (π/2 — α) = (+)

ե) ctg (2π — α) = (-)

զ) sin (3π/2 + α)= (-)

Առաջադրանք 99

ա) sin (-30⁰)= -1/2

բ) cos (-π/3)=cos (-60⁰)=1/2

գ) tg (-π/4)=tg (-45⁰)= -1

դ) tg (-5π/6)=tg (-150⁰)=√3/3

ե) ctg (-135⁰)=1

զ) ctg (-2π/3)=ctg (-120⁰)=√3/3

Եռանկյունաչափական նմանություններ

sin α=y; cos α=x; tg α=y/x; ctg α/x=y

tg α=sin α/cos α; ctg α=cos α/sin α

Շրջանագծի հավասարման բանաձև․ x²+y²=1 (միավոր շառավիղով շրջանագծում՝ ըստ Պյութագորասի թեորեմի)

sin² x + cos² x = 1 (1 բանաձև)

Ենթադրություն․ երկու կողմերը բաժանենք cos² x-ով, կստացվի՝

tg² x + 1=1/cos² x (2 բանաձև)

Ենթադրություն․ երկու կողմերը բաժանենք sin² x-ով, կստացվի՝

ctg² x + 1 = 1/sin² x (3 բանաձև)

tg x * ctg x = 1 (քանի որ tg x=sin x/cos x; ctg x = cos x/sin x, այսինքն՝ sin x/cos x * cos x/sin x = 1)

Առաջադրանք 103

ա) 1 — cos² α=sin² α

1=sin² α + cos² α

sin² α + cos² α — cos² α=sin² α

բ) 1/cos² α- 1

tg² α + 1/cos²

1/cos² α — 1

tg² α+1-1=tg² α

գ) tg α * ctg α + ctg² α

1 + ctg² α = 1/sin² α

դ) tgβ * ctg β + tg² β

1 + tg² β=1/cos² β

Առաջադրանք 104

ա) sin α — sin³ α/cos α — cos³ α = sin α*(1-sin² α)/cos α*(1-cos² α)=sin α * cos² α/cos α * sin² α=tg α*ctg² α=ctg α

բ) sin³ α — sin⁵ α/cos³ α — cos⁵ α = sin³ α*(1-sin² α)/cos³ α*(1-cos² α)=sin³ α * cos²α/cos³ α * sin² α=sin α/cos α=tg α

գ) tg α * ctg α — cos² α/sin α=tg α * 1/tg α — cos² α/sin α=1-cos² α/sin α=sin² α/sin α=sin α

դ) 1-cos² α/1-sin² α + tg α * ctg α = sin² α/cos² α + tg α * ctg α=sin² α/cos² α + tg α * 1/tg α=sin² α/cos² α + 1=sin² α + cos² α/cos² α=1/cos² α

Առաջադրանք 105

ա) tg β * ctg β — sin² β/ctg β=tg β * 1/tg β — sin² β/ctg β=cos² β/ctg β=cos² β / cos β/sin β=cos β * sin β

բ) cos² β(1+tg² β) — sin² β=cos² β + (cos β * sin β/cos β)² — sin² β=cos² β + sin² β — sin² β=cos² β

գ) ctg² α + (1+tg² α) * cos² α=cos² α/sin² α + (1 + sin² α/cos² α) * cos² α=cos² α/sin² α + cos² α + sin² α/cos² α * cos² α=cos² α/sin² α + 1=cos² α + sin² α/sin² α=1/sin² α

դ) cos² α * (tg α/ctg α + 1) + tg² α=cos² α * (tg α/1/tg α + 1) + (sin α/cos α)²=cos² α * (tg²α + 1) + sin² α/cos² α=1 + sin² α/cos² α=cos² α + sin² α/cos² α=1/cos² α

Արևմտյան քաղաքակրթությունները

Միկենյան պետությունների անկումից հետո սկսվեց «Հոմերոսյան դարաշրջան», որը տևեց շուրջ 300 տարի: ճանապարհ պետք է անցնեին մինչև քաղաքակրթություն մուտք գործելը: Այդ դարաշրջանն այսպես անվանվեց, քանի որ ուսումնասիրության հիմնական սկզբնաղբյուրները Հոմերոսի պոեմներն էին: Հոմերոսյան դարաշրջանում Հունաստանը գյուղատիպ սակավաբնակ երկիր էր, որի բնակչության հիմնական զբաղմունքը երկրագործությունն ու անասնապահությունն էր, արհեստները և առևտուրը թույլ էին զարգացած: Արտաքին աշխարհի հետ հարաբերությունները երկրորդական դեր էին խաղում բնակչության գործունեության մեջ:

Սոլոն — ստեղծեց ժողովրդական ժողովի կողմից ընտրված չորս հարյուրի խորհուրդ, որի կազմում ներառվեցին 100-ական ներկայացուցիչ Ատտիկայի 4 ցեղերից յուրաքանչյուրից: Ստեղծեց ատենկալների դատարան, որտեղ դատավորները չէին կարող միայնակ որոշում կայացնել, այլ պետք է վերջնական վճիռը թողնեին 12 ատենակալների հայեցողությանը: Այն վերածվեց Ատտիկայի գերագույն դատական մարմնի: Դատական համակարգի այս ջևը գործում է մինչև օրս:Այս բարեփոխումները Աթենական պետության հետագա զարգացման առումով վիթխարի նշանակություն ունեցան: Դրանք վճռական հարված հասցրին տոհմատիրական կարգերին:Կլիսթենես — կարևորագույն ձեռնարկումը դա գործադիր իշխանության մարմիններում ընտրության կարգի հիմնավոր վերափոխումն էր, որը թույլ կտար ապահովել բոլոր քաղաքացիների մասնակցությունը պետական կառավարմանը: Բարելաեց օրենսդիր մարմիների գործունեությունը: Ստեղծեց 10 ստրատեգոսների խորհուրդ, որոնցից յուրաքանչյուրը հերթով ղեկավարում էր աթենական աշպարհազորը: Մտցրեց օստրակիզմը՝ յուրաքանչյուր տարվա սկզբին էկլեսիան որոշում էր Ատտիկայից վտարել այն քաղաքացիներին, ում գործունեությունը կարող էր վնաս հասնցել պետությանը:Բարեփոխումները կարևորագույն նշանակություն ունեցան աթենական ժողովրդավարության զարգացման համար և ք.ա. V դ. կեսերին դարձան Պերիկլեսի օրոք ստեղծված աթենական ժողովրդավարության համար հիմքը:Պերիկլես — նպատակ ուներ Աթենքը վերածելու Հունաստանի քաղաքական հեգեմոնի: Անցկացրեց մի շարք բարեփոխումներ, որոնց նպատակն էր պետության կառավարման համակարգի կատարելագործումը: Քվեարկության փոխարեն մարդկանց պաշտոնի էր նշանակում վիճակահանությամբ՝ ձգտելով բացառել հովանավորչությունը: Պաշտոնի դիմաց մտցրեց վարձատրություն: 

Չունևոր աթենացիներին տոների ժամանակ դրամ էր բաժանվում՝ թատրոն հաճախելու համար: Ընդարձակվեց լիթուրգիայի երևույթը: Յուրաքանչյուր հարուստ աթենացի պարտավոր էր իր անձնական միջոցների հաշվին պետության համար կառուցել նավեր, ֆինանսավորել հասարակական միջոցառումներ: Էկլեսիան վերածվեց պետության իրական ղեկավար մարմնի: Էկլեսիան էր ընտրում ստրատեգոսներին և մյուս պաշտոնյաներին, հայտարարում պատերազմ, կնքում պայմանագրեր, ընդունում պետական պաշտոնյաների հաշվետվությունները: Մտցրեց բողոքարկման համակարգ: Ավարտվեց «Երկար պարիսպների» կառուցումը, որով Աթենքը հուսալիորեն պաշտպանվեց թշնամու հարձակման դեպքում:Նրա կառավարման ընթացքում Աթենքը վերածվեց Հունաստանի ժողովրդավարության հենակետի: Աթենքի ազդեցությունը տարածվում էր Հունաստանի մեծ մասի վրա: Սա Աթենական պետության քաղաքական, տնտեսական և հոգևոր–մշակութային հզորության բարձրակետն էր, որ ընդունված է անվանել «Պերիկլեսյան ոսկեդար»:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ըստ քառորդների

Թեմա՝ Եռանկյունաչափական տարրեր  / եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները՝ ըստ քառորդների․

Առաջադրանքները՝  92, 93, 94, 95, 96, 97

sin (-α)= -sin α

cos (-α)=cos α

tg (-α) = -tg α

ctg (-α)= -ctg α

Առաջադրանք 92

ա) I

բ) III

գ) սահմանային կետ

դ) I

ե) IV

զ) IV

Առաջադրանք 93

ա) I

բ) III

գ) IV

դ) I

ե) 270⁰ — սահմանային կետ

զ) IV

Առաջադրանք 94

ա) II

բ) II

գ) III

դ) III

ե) III

զ) II

Առաջադրանք 95

ա) cos α>0, tg α>0 => α-ն I քառորդում է

բ) cos α<0, ctg α>0 => α-ն III քառորդում է

գ) sin α>0, tg α<0 => α-ն II քառորդում է

դ) ctg α<0, cos α<0 => α-ն II քառորդում է

ե) sin α<0, cos α>0 => α-ն IV քառորդում է

զ) cos α>0, tg α<0 => α-ն IV քառորդում է

Առաջադրանք 96

ա) α=158⁰; sin (+), cos (-), tg (-), ctg (-)

բ) α=1.3π; sin (-), cos (-), tg (+), ctg (+)

գ) α=0.3π; sin (+), cos (+), tg (+), ctg (+)

դ) α=355⁰; sin (-), cos (+), tg (-), ctg (-)

Առաջադրանք 97

ա) sin 89⁰ * tg 91⁰=(-)

բ) cos π/10 * sin 7π/3=(+)

գ) tg 19⁰ * cos 119⁰=(-)

դ) sin 122⁰ * cos 390⁰=(+)

ե) ctg 7π/8 * sin 8π/7=(+)

զ) cos 11π/5 * tg 5π/11=(+)

Եռանկյունաչափության տարրեր

Առաջադրանքներ դասագրքից՝ 85, 86, 87, 88, 89, 91

Առաջադրանք 85

ա) sin(9π/4)=sin 405⁰=√2/2

բ) cos(19π/4)=cos 855⁰= -√2/2

գ) tg(13π/6)=tg 390⁰=√3/3

դ) tg(-570⁰)= -√3/3

ե) sin(-11π/6)=sin -330⁰=0.5

զ) cos 810⁰=0

Առաջադրանք 86

ա) sin π/6 + sin π/4 * cos π/4=sin 180⁰/6 + sin 180⁰/4 * cos 180⁰/4=sin 30⁰ + sin 45⁰ * cos 45⁰=1/2 + √2/2 * √2/2=1/2 + 1/2=1

բ) cos π + 2cos π/3=cos 180⁰ + 2cos 180⁰/3=cos 180⁰ + 2cos 60⁰= -1 + 1=0

գ) 2sin π/3 + tg π/4=2sin 180⁰/3 + tg 180⁰/4=2sin 60⁰ + tg 45⁰=2*√3/2 + 1=√3+1

դ) tg π/3 * ctg 2π/3 + sin π=tg 180⁰/3 * ctg 2*180⁰/3 + sin 180⁰=tg 60⁰ * ctg 120⁰ + sin 180⁰=√3 * (-1√3) + 0= -1+0= -1

Առաջադրանք 87

ա) sin² 3π/4 + cos² 3π/4=sin² 3*180⁰/4 + cos² 3*180⁰/4=sin² 135⁰ + cos² 135⁰=2/4 + 2/4=1

բ) tg 5π/6 * sin π/3 + cos π/2=tg 5*180⁰/6 * sin 180⁰/3 + cos 180⁰/2=tg 150⁰ * sin 60⁰ + cos 90⁰= -1/√3 * √3/2 + 0= -1/2

գ) ctg 5π/6 * tg π/6=ctg 5*180⁰/6 * tg 180⁰/6=ctg 150⁰ * tg 30⁰= -√3 * 1/√3= -1

դ) 4cos π/4 * cos 3π/4 * sin 3π/4=4cos 180⁰/4 * cos 3*180⁰/4 * sin 3*180⁰/4=4cos*45⁰ * cos 135⁰ * sin 135⁰=4*√2/2 * -√2/2 * √2/2= -√2

Առաջադրանք 88

ա) 2sin 30⁰ + √3 tg 60⁰=2*1/2 + √3*√3=1 + 3=4

բ) 7√3 cos 30⁰ — 3sin 150⁰=7√3 * √3/2 — 3*1/2=7*3/2 — 3/2=21/2 — 3/2=18/2=9

գ) tg 135⁰ * cos 120⁰ + 3cos 60⁰= -1 * (-1/2) + 3/2=1/2 + 3/2=4/2=2

դ) ctg 60⁰ * tg 120⁰ + cos 150⁰ * sin 60⁰=1/√3 * (-√3) + (-√3/2) * √3/2= -1 — 3/4 = -7/4

Առաջադրանք 89

ա) Մեծագույն = 2, փոքրագույն = -2

բ) Մեծագույն = 3, փոքրագույն = -3

գ) Մեծագույն = 3, փոքրագույն = -1

դ) Մեծագույն = 8, փոքրագույն = 2

ե) Մեծագույն = 3, փոքրագույն = 2

զ) Մեծագույն = 3, փոքրագույն = -2

Առաջադրանք 91

ա) { x²-3x+2≤0 (1)

{ 2x-3<0 => 2x-3<0 => 2x<3 => x<1.5

(1) x²-3x+2≤0 => x²-3x+2=0

D=9-8=1; x₁=3-1/2=1; x₂=3+1/2=4/2=2

Պատ՝․ x ∈ [1, 3/2)

բ) { x²+7x+12≥0 (1)

{ 2x+10>0 => 2x> — 10 => x> -5

(1) x²+7x+12≥0 => x²+7x+12=0

D=49-48=1; x₁= -7-1/2= -8/2= -4; x₂= -7+1/2= -6/2= -3

Պատ՝․ x ∈ (-5, -4] ∪ [-3, +∞)

Վանո Սիրադեղյան

Վանո Սիրադեղյան․ «Ձեռքդ ետ տար ցավի վրայից»

Վանո Սիրադեղյան «Գառ ախպերիկ»

Սեբաստացու օրեր

Թարգմանություն Մխիթարյան միաբանության կայքից․

ՄԽիթարյան միաբանության մասին

Մխիթարյան միաբանության զինանշանը

Բազմավեպ․ Մխիթար Սեբաստացի

Արևելյան քաղաքակրթությունները

Եգիպտական քաղաքակրթությունԵգիպտական քաղաքակրթությունը ձևավորվել է Աֆրիկայի հյուսիս–արևելքում` Նեղոս գետի ստորին հոսանքի շրջանում: Եգիպտոս անունը ծագում է այս երկրին հույների տված Ագյուպտոս անվանումից: Վերջինս ծագում էր Եգիպտոսի խոշորագույն քաղաքներից մեկի` Մեմֆիսի Խեթ–կա–Պտահ անվանումից: Իրենք` եգիպտացիները, իրենց երկիրն անվանում էին Կեմետ, որը նշանակում էր Սև (երկիր)՝ ի տարբերություն Կարմիրի, այն է` անապատի: Եգիպտոսի Վաղ թագավորությունը Առաջին խոշոր բնակավայրերը հունարեն կոչվում էին նոմեր: Ք.ա. 34-33-րդ դդ. նոմերը միավորվեցին, և կազմավորվեցին երկու խոշոր թագավորություններ` Վերին և Ստորին Եգիպտոսներ: Վերին Եգիպտոսի մայրաքաղաքը Նեխենն էր, իսկ Ստորինի մայրաքաղաքը` Բուտոն: Միացյալ Եգիպտոսի առաջին արքան՝ Մինան, հիմք դրեց համաեգիպտական I հարստությանը: Եգիպտոսի արքաները կրում էին փարավոն տիտղոսը, որը ծագում է հին եգիպտերեն պեր–օ` «մեծ տուն» (այսինքն՝ պալատ) անվանումից: Մինայի կարևոր քայլերից էր նոր մայրաքաղաք Մեմֆիսի կառուցումը: I հարստության արքաներն արշավանքներ իրականացրեցին նաև դեպի արևմուտք`Լիբիա, և հարավ` Նուբիա: Այս շրջանում է սկսվում խոշոր դամբարանների կառուցումը Աբիդոս քաղաքի մոտ` Նեղոսի ափին: Հին թագավորության դարաշրջանը Հիմնում է 3-րդ հարստության հիմնադիր փարավոն Ջոսերը: Նոմերում ժառանգաբար իշխող ազնվականությանը փոխարինեց նշանակովի պաշտոնյաներով (հուն.՝ նոմարքոսներ)՝ ձևավորելով կառավարման կուռ համակարգ: Արքայական իշխանության առանձնահատուկ դերն ընդգծելու նպատակով փարավոնի համար կառուցում էին վիթխարի դամբարաններ (բուրգեր): Հին թագավորությունն իր հզորության բարձրակետին հասավ 4-րդ հարստության օրոք: Եգիպտացիները սկսեցին արշավանքներ ձեռնարկել հարևան երկրների դեմ` դեպի հարավ` Նուբիա, դեպի արևմուտք` Լիբիա, և հյուսիս–արևելք` Սինայի թերակղզի և Պաղեստին: IV հարստությանը հաջորդած նոր արքայատոհմը երկրին համակած ճգնաժամի պայմաններում ստիպված էր զիջումներ անել նոմային ազնվականությանն ու քրմությանը: Երկրում փաստացի իշխանությունն անցավ նոմարքոսներին ու բարձրաստիճան քրմությանը: Ի վերջո երկիրը տրոհվեց մի քանի տասնյակ ինքնուրույն իշխանությունների:

Մաթեմ

ա) 90⁰=π/2 ռադ

բ) 60⁰=π/3 ռադ

գ) 300⁰=5π/3 ռադ

դ) 10⁰=π/18 ռադ

ե) 45⁰=π/4 ռադ

զ) 72⁰=2π/5 ռադ

է) 216⁰=6π/5 ռադ

ը) -720⁰= -4π ռադ

թ) 1200⁰=20π/3 ռադ

Առաջադրանք 70

ա) 2π ռադ=360⁰

բ) -π ռադ= -180⁰

գ) π/5 ռադ=36⁰

դ) 3π/5 ռադ=108⁰

ե) -7π/12 ռադ= -105⁰

զ) -π/36 ռադ= -5⁰

է) 12,5π ռադ=2250⁰

ը) -6,25π ռադ= -1125⁰

Առաջադրանք 71

ա) π/4 ռադ, π/4 ռադ, π/2 ռադ

բ) π/3 ռադ

գ) π/2 ռադ, π/3 ռադ, π/6 ռադ

Առաջադրանք 72

ա) α>β; 90⁰>85⁰

բ) α<β; 36⁰<40⁰

գ) α>β; 18⁰>17⁰

դ) α<β; 120⁰<130⁰

Թարգմանություն Մխիթարյան միաբանության կայքից․

Եկեղեցի և վանք

Կամիլլո Սիտտեն, ով նաև շնորհալի նկարիչ էր, ձևավորեց եկեղեցու ամբողջ ինտերիերը, ներառյալ խորանի ակնառու նկարը, որը ցույց է տալիս Սուրբ Մարիամի պաշտպանությունը Հայաստանի նկատմամբ: Հատկապես ուշագրավ կտոր է Սուրբ Գրիգոր Լուսավորչին նվիրված կողային զոհասեղանը, որը նախագծվել է Վիեննայի Ավստրիայի խորհրդարանի պալատի ճարտարապետ Թեոֆիլ ֆոն Հանսենի կողմից:

Մեկ այլ առանձնահատուկ առանձնահատկություն է Լորետտո-մատուռը, որի կողմնորոշումը դեպի արևելք վերցվել է հին Կապուցինյան վանքից: Այս մատուռում կա բարոկկո ոճի հրաշագործ «Մարիամը վարդի հետ» նկարը։ Բարեբախտաբար պատկերը անձեռնմխելի է փրկվել 1683 թվականին Վիեննայի թուրքական պաշարման վտանգներից:

2011 թվականին վերականգնումից հետո ամբողջ եկեղեցին այժմ փայլում է իր սկզբնական շքեղությամբ:

Վանքի արևմտյան թևի առաջին հարկում գտնվող սեղանատունը կառուցվել է 1837 թվականին՝ համբավ վայելող ճարտարապետ Ջոզեֆ Կորնհաուզելի նախագծերով։ Սեղանի ամենատպավորիչ տարրը Լյուդվիգ Ֆերդինանդ Շնոր ֆոն Կարոլսֆելդի «Հինգ հազարի կերակրումը» մոնումենտալ պատի նկարն է։